Государственный и общественный деятель, герой Социалистического труда (1977). Родился 10 августа 1917 года в ауле Шабакбай ныне Айыртауского района Северо-Казахстанской области. Окончил школу ФЗО, Сельскохозяйственный техникум г. Петропавловска (1938 г.). Ленинградский институт прикладной зоологии (1957), Высшую партийную школу при ЦК КПСС (1969). С 1938 по 1941 служил в рядах красной армии, участвовал в присоединении Западной Украины, в финской войне. В 1941-1942 гг. работал учителем средней школы Айыртауского района. В июле 1942 г. призван на фронт. Воевал на Северо-Западном, 1 Белорусском и Западном фронтах. Был политруком. В 1945-1961 гг. – на руководящих должностях в Айыртауском, Зерендинском районах и в Кокшетауском обкоме партии. За это время окончил Ленинградский институт прикладной зоологии и фитопатологии(1957), Высшую партийную школу при ЦК КПСС (1969). В 1961-67 гг. возглавлял Карагандинскую область. Инициировал строительство канала Иртыш –Караганда, снабдивший водой Караганду, Темиртау и др. населенные пункты. В конце 1967 г. был назначен первым секретарем обкома партии восстановленной Талды-Курганской области. Под его руководством за 2-3 года новая область превратилась в одну из лучших в Казахстане. В 1970-1984 гг. – Председатель Совета Министров КазССР. Активный участник освоения целинных земель и подъема сельской экономики Казахстана. В 1977 г. Б. Ашимов удостоен звания Героя Социалистического Труда. В 1984-1985 гг. — Председатель Президиума Верховного Совета КазССР и заместитель Председателя Президиума Верховного Совета СССР. С 1985 г. – персональный пенсионер. Награжден 4-мя орденами Ленина, 2-мя орденами Отечественной войны 1-й и 2-й степени, орденом Красной Звезды и медалями, орденом Монголии, орденом Польши «Виртути Милитари» (за героизм, проявленный в бою под Варшавой).
Женат. Имеет троих детей, шестерых внуков и правнучку. Опубликовал две книги воспоминаний.